Fundamentos da Matemática

O estudo dos fundamentos da matemática trata de conceitos matemáticos básicos que não podem ser eles mesmos explicados por recursos matemáticos. Especialmente no século XX, as pesquisas sobre os fundamentos da matemática passaram a incluir uma investigação sobre a natureza das teorias matemáticas e o campo de ação dos métodos por ela empregados.

Método axiomático

Acredita-se que a origem do método axiomático se encontra nos Elementos de Euclides, em que há axiomas (verdades evidentes) e postulados (fatos geométricos óbvios, cuja validade pode ser admitida sem discussão). O método axiomático consiste em escolher um conjunto de axiomas como fundamentais e, a partir deles, deduzir proposições chamadas teoremas, que podem ser demonstradas.

Em 1888 e 1889, Richard Dedekind e Giuseppe Peano lançaram as bases para a axiomatização da teoria dos números e, desde então, o método axiomático passou a ser empregado em matemática cada vez com maior freqüência. A teoria dos conjuntos foi axiomatizada pela primeira vez em 1908, e quase todos os ramos receberam tratamento análogo. A moderna matemática mostrou que é possível deduzir todo um corpo doutrinário a partir dos mesmos postulados, sem discutir o significado dos termos empregados. Essa nova atitude partiu principalmente de Moritz Pasch e David Hilbert, que publicou, em 1899, Grundlagen der Geometrie (Fundamentos da geometria), em que estuda criticamente o sistema axiomático de Euclides.

Método genético

A criação dos diferentes sistemas de numeração e as constantes extensões experimentadas pelo conceito de número caracterizam outra maneira de elaborar uma teoria matemática. É o método que Hilbert chamou de "genético". Seus elementos são gerados ou constituídos numa ordem definida, a partir de uma noção inicial e pela extensão de seu significado a novos campos de definição. A obtenção dos resultados é feita por indução, em várias etapas: (1) comprovação da hipótese para um elemento do conjunto; (2) suposição de que a hipótese é verdadeira para um elemento qualquer do conjunto; e (3) demonstração de que o elemento seguinte ao anterior, segundo uma relação de ordem previamente estabelecida no conjunto, também apresenta a propriedade desejada.

O raciocínio dedutivo, assim como o método axiomático, é empregado para obter propriedades novas a partir de noções triviais, que podem ser tomadas como postulados. Como exemplo disso, utiliza-se a sucessão de números naturais: 1, 2, 3... quando se contam objetos que formam um conjunto. Todos os elementos dessa sucessão são gerados a partir do primeiro elemento, por meio de apenas uma operação fundamental de contagem, que permite passar do objeto anterior para o posterior pelo acréscimo de uma unidade.

A exatidão de uma propriedade pode ser demonstrada pela premissa segundo a qual, se ela for verdadeira para n elementos, também será para n + 1. Basta demonstrar que ela é verdadeira para o primeiro elemento, uma vez que, em função da demonstração anterior, será verdadeira para todos os demais. Esse recurso, chamado "método da recorrência" ou "indução completa", foi apresentado pela primeira vez no século XVI por Francesco Maurolico. Segundo Henri Poincaré, esse é o método por excelência do raciocínio matemático.

Em 1889, Peano apresentou um conjunto de propriedades imediatas que deveriam ser tomadas como postulados e, a partir delas, construiu a teoria axiomática dos números. A noção de número natural surgiu da necessidade de comparar duas coleções de objetos e é conhecida mesmo entre as tribos que vivem em estágios primitivos. As primeiras operações aritméticas evoluíram a partir das comparações entre diferentes conjuntos de objetos.

Teorias modernas

No início do século XX, surgiram três escolas de pensamento, denominadas logicismo, formalismo e intuicionismo, para solucionar uma crise nos fundamentos da matemática: existia entre os matemáticos um profundo desconhecimento sobre os conceitos básicos e os métodos utilizados para chegar aos resultados em seus estudos.

De acordo com o logicismo, cujo principal representante foi Bertrand Russell, a matemática deriva de um conjunto de princípios lógicos básicos e investiga um domínio de entes abstratos (como pontos, números e conjuntos) que existem independentemente do investigador, de tal forma que qualquer noção matemática pode reduzir-se à idéia de propriedade abstrata. Para os logicistas, é possível deduzir toda a matemática a partir da lógica pura, sem necessidade de empregar conceitos matemáticos específicos, como número ou conjunto.

O formalismo, defendido por David Hilbert, admite que a matemática se compõe de símbolos manipulados independentemente de seu significado, segundo regras definidas para combinação e transformação. Hilbert pretendia mostrar que os processos usuais de demonstração não davam margem a paradoxos e eram concretos e suficientes para erigir toda a matemática a partir de alguns axiomas. Para ele, a consistência da matemática não pode ser posta em dúvida. Seu programa envolve duas etapas: a elaboração de um sistema formal de cujos axiomas se deduz, com regras de inferência explicitamente relacionadas, pelo menos a parte básica da matemática; e a constatação de que o uso de tais regras, aplicadas aos axiomas, não pode levar a contradições.

O intuicionismo, cujo principal teórico foi o holandês Luitzen Brouwer, é uma forma de conceber a matemática como atividade intelectual consistente por si mesma, que lida com construções mentais governadas por leis autoevidentes. Para os intuicionistas, todo ente matemático admissível deve ser construído, ou, pelo menos, a possibilidade de executar a construção num determinado número de passos deve ser provada.

Em 1930, as três escolas conviviam, sem que nenhuma delas se destacasse mais do que as outras. Trinta anos depois, as divergências entre as três correntes, que agora não eram mais as únicas, haviam-se reduzido a uma simples questão de opção. Entre as novas correntes estavam o logicismo pluralista, de H. Mehlberg e Rudolf Carnap; os estudos lógicos de Wittgenstein; a teoria do grupo Nicolas Bourbaki e o formalismo construtivista de Goodstein.

Veja também:
Disciplinas da Matemática

     
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