O objeto de estudo da aritmética é o número, suas propriedades e as operações que com ele se podem efetuar. A progressiva expansão da noção de número -- do conjunto de números naturais para os inteiros, racionais, reais e complexos -- definiu de certa forma o surgimento de outras disciplinas da matemática, como a álgebra e a teoria de conjuntos.

A disciplina matemática que estuda as relações entre números por intermédio de expressões simbólicas gerais é denominada álgebra. A álgebra surgiu a partir da aritmética, no estágio inicial de evolução da matemática, provavelmente na Babilônia, quando foram criadas as equações e os métodos para reduzi-las. No século XVI, várias iniciativas se tomaram no sentido de simplificar a representação de fórmulas algébricas, mas atribui-se a François Viète a primeira sistematização de uma linguagem de sinais algébricos.

Em 1591, no livro Isagoge in artem analyticam (Introdução à arte analítica), Viète empregou vogais para denotar incógnitas, e consoantes para as grandezas constantes. As potências de um número A eram assim escritas: Aq (quadrado), Ac (cubo) e Aqq (duplo quadrado). Foi Descartes quem primeiro usou as letras x, y e z para as incógnitas, e a, b e c para as constantes, e quem empregou expoentes em potências. A solução de sistemas de equações lineares por meio de matrizes e determinantes parece ter sido idéia de Leibniz, mas o primeiro tratamento sistemático da teoria dos determinantes deve-se a Alexandre-Théophile Vandermonde, em 1771, e Pierre-Simon Laplace, em 1772.

Nos séculos seguintes, os matemáticos se dedicaram a encontrar métodos gerais para solucionar equações algébricas de diferentes graus. Em 1831, Évariste Galois expôs sua teoria dos grupos, com o que provou a inexistência de métodos para extrair raízes a partir dos coeficientes de equações de grau igual ou maior que cinco.

A mais antiga disciplina matemática se ocupa do estudo das propriedades do espaço e recebe o nome de geometria. Na Babilônia, a geometria se dedicou preferentemente à resolução dos problemas de triângulos retângulos. Os estudos babilônicos influenciaram os geômetras gregos, que tiveram nos Elementos de Euclides a melhor expressão de suas teorias. A geometria de Euclides se baseou no estudo do volume das figuras geométricas de revolução (esferas, cilindros, cones) e das regras de paralelismo e proporcionalidade.

Com o emprego dos métodos analíticos de Descartes na geometria, a partir do século XVII, as expressões geométricas passaram a ser traduzidas em expressões algébricas. O século XIX assistiu ao surgimento de geometrias não euclidianas, como as de Lobatchevski e de Bolyai, baseadas em premissas de não proporcionalidade, espaços curvilíneos, distorção de distâncias etc. A geometria euclidiana, por essa razão, costuma ser denominada geometria plana, para distingui-la das geometrias parabólicas e hiperbólicas que se aproximam mais da concepção moderna do mundo e do espaço. A topologia, ramo mais novo e mais sofisticado da geometria, se encarrega do estudo das propriedades de figuras geométricas que subsistem a deformações contínuas.

Para os primeiros matemáticos, a trigonometria era essencialmente uma ciência de cálculo baseada em teoremas geométricos. Seu objeto de estudo são as funções específicas de ângulos e sua aplicação ao cálculo em geometria. Essa especialidade é importante em topografia, cartografia, geodésia, eletricidade, mecânica, acústica, engenharia e outros campos.

Entre as principais disciplinas da análise está a teoria das séries -- que analisa as sucessões de números reais e complexos -- e o cálculo diferencial e integral. O cálculo diferencial estuda a variação do valor de uma função à medida que se modificam as variáveis independentes, correspondentes ao valor de x nas equações mais simples do tipo y = f(x), em que f é a função. O cálculo integral se ocupa justamente do oposto: descobrir o valor de uma grandeza, a partir de sua taxa de variação. O progresso da análise deu origem a novos campos da matemática, como a análise harmônica, a tensorial e a combinatória, que levou ao cálculo das probabilidades.

Os estudos dos matemáticos George Boole e Georg Cantor conduziram a uma nova interpretação da matemática, baseada nas relações lógicas e na noção de conjunto ou coleção de termos que mantêm uma relação qualquer entre si. Essa disciplina deu origem à matemática moderna e determinou a formação de toda uma série de termos singulares, tais como aplicações, correspondências, relações etc., que não tinham sido empregados antes em matemática.

O acúmulo de dados extraídos da realidade material e a inexistência de teorias que explicassem os fenômenos a eles relacionados fez aparecer, na primeira metade do século XX, hipóteses relativistas e quânticas baseadas no cálculo de probabilidade e na estatística.

O cálculo das probabilidades surgiu de estudos sobre os jogos de azar realizados, no século XVII, por Pascal, Fermat, Huygens e Jakob Bernoulli. Em 1662, John Graunt analisou estatisticamente a mortalidade humana e, em 1693, Edmund Halley mostrou como calcular anuidades de seguros de vida a partir de quadros de mortalidade. No século seguinte, a teoria dos erros de Laplace, Legendre e Gauss forneceu recursos para empregar a estatística nas finanças públicas, na saúde pública e em outros campos. No século XX, com a evolução da física quântica, a estatística passou a ser um instrumento de inestimável valor para a teoria atômica. Em meados do século, a visão determinista da natureza começou a ser substituída por uma visão probabilística. A influência progressiva da informática na vida cotidiana tende a aumentar a importância prática das teorias de probabilidade e estatística.

Veja também:
Fundamentos da Matemática