Lógica Matemática


Por influência do pensamento de Aristóteles, a lógica dizia respeito, tradicionalmente, apenas às proposições da linguagem verbal. A partir do século XIX, no entanto, seus princípios foram aplicados à linguagem simbólica da matemática.

Lógica matemática é o conjunto de estudos que visam a expressar em signos matemáticos as estruturas e operações do pensamento, deduzindo-as de um pequeno número de axiomas, com o propósito de criar uma linguagem rigorosa, adequada ao pensamento científico, da qual estejam afastadas as ambigüidades próprias da linguagem comum. Fundamenta-se na construção de sistemas formais, ou seja, modelos, para cuja definição se enunciam certos axiomas (conceitos básicos) e métodos de dedução ou demonstração.

Evolução Histórica

O termo "sistema" foi proposto por Laozi (Lao-tsé) 500 anos antes da era cristã, ao dizer que "uma carroça é mais que a soma de suas partes", ou seja, que a relação entre os diversos elementos que formam a carroça faz com que ela tenha propriedades especiais e diferentes da soma das propriedades de cada um de seus componentes em separado. Aristóteles já assinalara um princípio de abstração ao descrever sistema como um conjunto de funções, características e atributos que podem ser definidos. No entanto, o termo lógica matemática denota preferencialmente o conjunto de regras e raciocínios dedutivos elaborado a partir da segunda metade do século XIX. Mediante a eliminação das imprecisões e erros lógicos da linguagem comum e a adoção de critérios de formalização e emprego de símbolos, a lógica formal converteu-se numa disciplina associada à matemática.

Em 1854, George Boole descobriu que os conectivos, ou operadores, propostos por Aristóteles para as proposições (do tipo "e", "ou", "não" etc.) seguiam regras similares às da soma e da multiplicação. Projetou, então, a chamada álgebra de Boole, que se baseia na lógica binária de "verdadeiro" e "falso" como alternativas para cada proposição.

Pouco depois, Georg Cantor criou a teoria dos conjuntos e suas operações. Definiu conjunto como a união de objetos que satisfazem propriedades exprimíveis, e conjunto de conjuntos como um novo conjunto que contém a si mesmo, sendo um de seus próprios elementos. Bertrand Russell detectou o paradoxo desse raciocínio e argumentou que um conjunto pertence à primeira categoria se não contém a si mesmo, e à segunda se contém a si mesmo como elemento. Assim, se o conjunto A tem como elementos os conjuntos da primeira categoria, não pode, por dedução, pertencer a nenhuma das duas categorias mencionadas, ainda que inicialmente se atribuísse uma categoria a cada conjunto.

Ernst Zermelo formulou em 1904 um axioma de escolha sobre conjuntos não-vazios, isto é, que contêm elementos. Numa família de conjuntos não-vazios, qualquer que seja seu tamanho, pode-se escolher ao mesmo tempo um elemento de cada conjunto e considerar o conjunto A, que não podia pertencer a nenhuma categoria, como constituído desses elementos. Com esse axioma puderam ser demonstrados teoremas matemáticos clássicos carentes de lógica aparente, mas ao mesmo tempo começou a polêmica quanto à validade dos teoremas demonstrados com base nele, e a equiparação destes com aqueles que não necessitam desse axioma para sua demonstração. Enfim, tornou-se prática indicar se em determinado teorema havia sido usado ou não o axioma de escolha.

Para Kurt Gödel, um sistema matemático que só fosse suficiente para a aritmética clássica seria necessariamente incompleto. Acrescentou que qualquer sistema pode ser coerente ao se lhe incorporar o axioma de escolha, e assim se mantém quando nele se inclui a negação desse mesmo axioma. A hipótese de continuidade geral também é coerente com a matemática comum, que mantém a coerência quando se lhe acrescentam simultaneamente o axioma de escolha e a hipótese de continuidade geral. Essa hipótese propõe uma explicação provável de um fato ou série de fatos cuja verdadeira causa se desconhece.

Veja também:
Conceitos de Lógica Matemática
Sistemas e Subsistemas Lógicos

     
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